y=x+x^3/3!+…+x^2n+1/(2n+1)! найти рекурсивное соотношение a[n+1]/a[n]

$y=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\\\\$
Это разложения в ряд Тейлора функций $y=sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\\\$
Тогда
$a_{n}=\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\\\ a_{n+1}=\frac{x^{2n+3}}{(2n+3)!}\\\\ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\frac{x^{2n+3}}{(2n+3)!}}{\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\\\\ \frac{x^2*(2n+1)!}{(2n+3)!}=\frac{x^2}{2(n+1)(2n+3)}$