1) 1+tg²x=1/cos²x ⇒ cos²x = 1/(1+tg²x)=1/(1+0,25)=4/5
тогда sin²x=1-cos²x=1-4/5=1/5
cos2x=cos²x-sin²x=4/5-1/5=3/5
cos ⁴ x + sin ⁴ x = (cos ² x + sin ² x) - 2 ·cos ² x ·sin ² x =1 - 2·(4/5)·(1/5)= =1-(8/25)=17/25
cos⁸ x - sin ⁸ x= (cos ⁴ x - sin ⁴ x) (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
= (cos ² x - sin ² x)·(cos ² x - sin ² x)· (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
= cos 2x· (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
= 3/5 · 17/25= 51/125
2) y=6sin2x+8cos2x= 10( 0,6 sin 2x +0, 8 cos 2x)=10· sin (2x+α)
где sin α=0,8 cosα=0,6
воспользовались формулой синуса суммы
sin 2x·cosα+cos2x·sinα= sin (2x+α)
Так как синус - функция ограниченная, то -1 ≤ sin (2x +α) ≤1
умножим все члены неравенства на 10:
-10 ≤ 10 · sin (2x+α) ≤10
Множество значений функции E(y)= [-10;10]
3) Аналогично 2)
-1 ≤ cos(x\2) ≤1,
-2 ≤ 2 cos (x/2) ≤2,
-2+3 ≤ 2 cos (x/2) + 3 ≤ 2+3,
1≤ f(x)≤5
E(f)=[1;5]
4) 13sin² 5x +17cos²5x = 13sin² 5x +13cos²5x +4cos²5x =1+4cos²5x =
=1+4(1+cos 10x)/2=1+2(1+cos 10x)=3+2 cos10 x
-1 ≤ cos(10x) ≤1,
-2 ≤ 2 cos (10x) ≤2,
-2+3 ≤ 2 cos (10x) + 3 ≤ 2+3,
Значит,
1≤13sin² 5x +17cos²5x ≤5
Наименьшее значение выражения 13sin² 5x +17cos²5x равно 1