7^п+3п-1 кратно 9
Проверим справедливость утверждения при n=1:
7^1+3*1-1 =7+3-1=9 -кратно 9 ,верно.
Предположим что утверждение справедливо при n=k:
7^k+3k-1 -и исходя из этого докажем справедливость утверждения при n=k+1:
7^(k+1)+3(k+1)-1 -и это выразим через: "7^k+3k-1":
7^(k+1)+3(k+1)-1=
=7*7^k+3k-1+3=
=7*(7^k+3k-1)-18k-9=
=7*(7^k+3k-1)-9(2k+1) -отсюда следует: (7^k+3k-1) кратно 9 по предположению,
а 9(2k+1) кратно 9 из первого множителя, значит 7^п+3п-1 кратно 9.