f(x)=(1/3)lnx-x Найти интервалы монотонности

$f(x)= \frac{1}{3}*lnx-x$
т.к. дан натуральный логарифм, то подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля: x>0
Определим поведение функции:
$f'(x)=\frac{1}{3}*\frac{1}{x}-1=\frac{1}{3x}-1=\frac{1-3x}{3x}$
$\frac{1-3x}{3x}=0$
$1-3x=0$
$3x=1$
$x= \frac{1}{3}$

При 0При x>1/3 производная отрицательная, функция убывает

Промежутки убывания функции: x∈(1/3; +бесконечность)
Промежутки возрастания функции: x∈(0; 1/3)