Исследовать сходимость ряда.

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{3n}{2^{ \frac{n}{2} }}$

применим признак Даламбера
$D=\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{3(n+1)}{2^{ \frac{n+1}{2} }} : \dfrac{3n}{2^{ \frac{n}{2} }} = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{3(n+1)\cdot 2^{ \frac{n}{2} }}{2^{ \frac{n+1}{2} }\cdot 3n} = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n+1}{ \sqrt{2}\cdot n } =\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1+ \frac{1}{n} }{ \sqrt{2} }\\\\= \dfrac{1}{ \sqrt{2} } <1$

D<1, значит сх-ся