В выпуклом четырехугольнике ABCD точки K и M-середины сторон AD и BC,а точки L и N...

Question

В выпуклом четырехугольнике ABCD точки K и M-середины сторон AD и BC,а точки L и N середины диагоналей BD И AC
причем KM перпендикулярны с LN и KN=LN.Найдите величину угла образованного продолжениями сторон AB и CD

Answer 1

MN II AB как средняя линия в треугольнике ABC;
ML II CD как средняя линия BCD;
KL II AB как средняя линия ABD;
KN II CD как средняя линия ACD;
Поэтому противоположные стороны четырехугольника KLMN параллельны, то есть это параллелограмм.
По условию его диагонали KM и LN перпендикулярны, то есть это - ромб, все его стороны равны.
Так же по условию KN = LN, то есть треугольник KNL равносторонний. 
Следовательно ∠NKL = 60°;
Так как стороны этого угла параллельны сторонам искомого угла (то есть KL II AB; KN II CD), то прямые AB и CD тоже образуют угол 60°.

Comments

Между прочим, так доказывается еще и то, что три отрезка, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника и середины диагоналей, пересекаются в одной точке.И эта точка делит эти отрезки пополам.