Основные свойства числовых неравенств.
1. Если , то и наоборот, если , то .
2. Если , , то . Если , , то .
3. Если к обеим частям числового неравенства прибавить или от обеих частей неравенства отнять одно и то же число, то неравенство не нарушится: если , то и для любого числа .
4. Любое слагаемое одной части неравенства можно перенести в другую часть неравенства, поменяв знак этого слагаемого на противоположный.
5. Если обе части числового неравенства умножить на одно и то же положительное число, то неравенство не нарушится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Если и , то . Если и , то .
6. Неравенства одинакового смысла (имеющие одинаковые знаки неравенства) можно почленно складывать: если и , то .
7. Два неравенства противоположного смысла (имеющие разные знаки неравенства) можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого вычитаем: если и , то .
8. Неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно умножать: если и , причем , , , , то .
9. Если , причем , , то , – натуральное число.
10. Если , причем , , то , – натуральное число.
Если известны числа , для которых верны соотношения и , то для оценки числа употребляется запись , которая называется двойным неравенством. Двойные неравенства обладают всеми свойствами обычных неравенств.
Если требуется записать, что число не меньше, чем число (то есть больше либо равно ) используют знак ≥ и пишут . Запись означает, что число не больше, чем число (то есть меньше либо равно ). Соотношения , , так же как и соотношения и , называются неравенствами. Неравенства, содержащие знаки и называются строгими, а неравенства, содержащие знаки и называются нестрогими. Все свойства строгих числовых неравенств распространяются и на нестрогие неравенства.
Пример. Определить, какое из чисел больше или .
Решение. Вычислим разность . Так как разность чисел и положительна, то больше, чем . Таким образом, .
Ответ: .
Если неравенство кроме чисел содержит буквенные выражения, то оно является верным лишь при определенных значениях входящих в него переменных или не выполняется ни при каких значениях переменных. Решением такого неравенства являются те значения неизвестной величины (или величин), при которых данное неравенство переходит в верное числовое неравенство. Решение неравенства проводится путем сведения его к более простому (эквивалентному) неравенству. Два неравенства, содержащие одну и ту же неизвестную величину, называются эквивалентными, если они выполняются при одних и тех же значениях этой величины. Решение неравенств основано на их свойствах, которые можно переформулировать для случая, когда одна или обе части неравенства представляют собой некоторые функции.
Линейным неравенством называется неравенство вида или , где и – известные числа, – неизвестная величина. Если , то неравенство равносильно неравенству . Если , то неравенство равносильно неравенству . Если , то в зависимости от знака числа получается либо тождественное, либо невозможное неравенство. Неравенства, содержащие знаки и решаются аналогично.
Пример. Решить неравенство .
Решение. Перенесем слагаемые, содержащие неизвестную величину, в левую часть неравенства, а известные – в правую часть неравенства и выполним действия: , , , . Если изобразить множество решений на действительной оси, то получим множество (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Решение неравенства
Замечание. В случае нестрогого неравенства множество решений включало бы точку , а именно .
Пример. Решить неравенство .
Решение. Область допустимых значений неравенства или . Левая часть неравенства представляет собой дробь, числитель которой – положительное число. Поэтому неравенство может выполняться лишь в случае отрицательного знаменателя. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству или .
Ответ: .