Определить глубину цвета в графическом режиме, в котором палитра состоит из 2048 цветов

2048 это два в 11 степени, значит для записи информации о цвете требуется одиннадцать двоичных разрядов(бит). Это и есть глубина цвета- 11 бит.

Чтобы найти в какую степень требуется возвести двойку для получения числа 2048, нужно вычислить логарифм 2048 по основанию 2 (log₂ 2048). Либо, можно делить 2048 на 2 до тех пор, пока не останется 1 (сколько раз делили и будет ответом).

Если ваш калькулятор не позволяет вычислять логарифмы по произвольному основанию, то можно воспользоваться формулой смены основания логарифма, тогда для расчёта можно использовать десятичный либо натуральный логарифм:
$log_{b} \ N = \frac{log_{a}N}{log_{a}b} = \frac{ln N}{ln \thinspace b} = \frac{lg N}{lg \thinspace b}$

Используем натуральный логарифм:
$log_{2} \ 2048 = \frac{ln \ 2048}{ln \ 2} \approx \frac{7,624619}{0,693147} \approx 11$
(если при вычислении не округлять результаты, а использовать полную точность, то получится ровно 11)