Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников BOC и AOD равны...

Question

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников BOC и AOD равны соответсвенно 16 см2 и 36 см2. Найдите площадь трапеции.
Заранее благодарен :-)

Answer 1

Пусть высота AOD из точки O - h1; площадь S1; высота BOC h2, площадь S2; высота трапеции H, основания a и b, площадь S.
h1 + h2 = H; h1/h2 = a/b; => h1 = H*a/(a + b); h2 = H*b/(a + b);
H = 2*S/(a + b);
S1 = a*h1/2 = S*a^2/(a + b)^2; S2 = b*h2/2 = S*b^2/(a + b)^2;
√ (S1) = (√ S)*a/(a + b); √ (S2) = (√ S)*b/(a + b);
Если это сложить, получится
√ S = √ (S1) + √ (S2); 
√ S = 4 + 6 = 10;
S = 100;

Comments

между прочим, соотношение типа S1/S = (a/(a + b))^2 сразу следует из известного построения - из вершины С надо провести CE II BD до пересечения с AD (в точке E). Тогда 1) треугольник ACE имеет ту же площадь, что и трапеция 2) треугольники ACE и AOD (и BOC) подобны.