Почему в предложении.The radio stations entertain the students by playing all the latest music and chart hits. PLAYING пишется с окончанием ing?
Потому что это герундий. Иногда перед герундием может стоять предлог, в данном случае "by playing" означает "проигрывая" (деепричастие) или "путем проигрывания".