Дана трапеция ABCD. AB=2cm, CD=10cm, DA=8cm, угол D=30 градусов. Найти площадь трапеции.

ABCD - трапеция, AB = 2см, CD = 10см, AD = 8см. угол D = 30 Градусов
Найти: $S_{ABCD}$

Решение:

Проведем высоты BK и CL к стороне основанию AD. С прямоугольного треугольника CDL (угол CLD = 90 градусов), по т. Пифагора ищем DL и высоту CL
Синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, тоесть
$\sin D= \frac{CL}{CD} \\ CL=10\cdot \sin30а=10\cdot \frac{1}{2} =5cm$
$DL= \sqrt{CD^2-CL^2} = \sqrt{2^2-5^2}= \sqrt{-21}$
Также определим АК (с прямоугольного треугольника АКВ)
Косинус угла это отношение прилежащего катета к гипотенузе, тоесть
$\cos D= \frac{AK}{CD} \\ AK=CD\cdot \cos 30=10\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =5 \sqrt{3} cm$

Тогда меньшее основание ВС равен:
$BC=AD-AK-DL=8- \sqrt{-21} - 5\sqrt{3} \,\,\, (cm)$
Вычисляем площадь трапеции

$S_{ABCD}= \frac{AD+BC}{2} \cdot CL= \frac{8+8- \sqrt{-21}-5 \sqrt{3} }{2} \cdot 5=40-2.5 \sqrt{-21} -12.5 \sqrt{3}$

Ответ: $S_{ABCD}=40-2.5 \sqrt{-21} -12.5 \sqrt{3} \, \, \, (cm^2)$