Корень из( x^2-4x) = корень из ( 6-3x)

Question

Дано ответов: 2

eugeke_zn · Answer 1 · 2018-03-20T00:08:08+0000

$\sqrt{x^2-4x}=\sqrt{6-3x}$

Корни равны тогда, когда подкоренные выражения равны.

Чтобы уравнение имело смысл, нужно, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны. Но так как они равны, достаточно того, чтобы одно из них было неотрицательным.

$\left\{\begin{matrix} x^2-4x &= &6-3x \\ x^2-4x&\geqslant &0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-x-6 &= &0 \\ x(x-4)&\geqslant &0 \end{matrix}\right.$

или

$\left\{\begin{matrix} x^2-4x &= &6-3x \\ 6-3x\geqslant &0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-x-6 &= &0 \\ 6-3x&\geqslant &0 \end{matrix}\right.$

Решим оба из них:

$x^2-x-6=0\\ D=1+24=25; \sqrt D=5\\\\ x_{1/2}= \frac{1\pm5}{2}\\\\ x_1= \frac{1-5}{2}=- \frac{4}{2}=-2\\\\ x_2= \frac{1+5}{2}= \frac{6}{2}=3\\\\\\ x(x-4)\geqslant0\\\\ x\geqslant0\\\\ x-4\geqslant0\\ x\geqslant4\\\\ x\in(-\infty;0]\bigcup[4;+\infty)$

Из решения получаем:

$\left\{\begin{matrix} x_1 &= & &-2 \\ x &\in & &(-\infty;0]\bigcup[4;+\infty) \end{matrix}\right.$

Как видно, корень $x=3$ не подходит

Решим второй случай:

$\left\{\begin{matrix} x^2-4x &= &6-3x \\ 6-3x&\geqslant &0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-x-6 &= &0 \\ 6-3x&\geqslant &0 \end{matrix}\right.$

Так как первое уравнение уже было решено выше, то переходим к решению неравенства:

$6-3x\geqslant0\\ -3x\geqslant-6\\ x\leqslant2\\\\ x\in(-\infty;2]$

Получаем:

$\left\{\begin{matrix} x_1 &= & -2 \\ x &\in &(-\infty;2] \end{matrix}\right.$

И опять-таки делаем вывод, что корень $x=3$ не вписывается в рамки нашей системы.

Ответ: $x=-2$