5. BD – биссектриса Δ ABC. ** ее продолжении выбрана точка K так, что DK=AB. При этом...

Question

5. BD – биссектриса Δ ABC. На ее продолжении выбрана точка K так,
что DK=AB. При этом
оказалось, что AK║BC.

Докажите, что AB > BC

Answer 1

BD – биссектриса Δ ABC. На ее продолжении выбрана точка K так,
что DK=AB. При этом оказалось, что AK║BC. Докажите, что AB > BC

АК║ВС. ВК секущая при этих параллельных прямых, и угол СВК=углу ВКА как накрестлежащие.
Угол АВК=углу КВС, т.к. ВD - биссектриса. ⇒
угол АВК=углу АКВ ⇒
треугольник ВАК - равнобедренный.
АВ=АК. Но DК=АВ по условию.
Следовательно, и треугольник АКD - равнобедренный.
АС - секущая при параллельных ВС и АК, и  углы ВСА и САК равны как накрестлежащие.
В равнобедренном треугольнике  АКD угол DАК=углу АDК
Но угол ВDС треугольника ВDС, как вертикальный, равен углу АDК. ⇒
угол ВDС=углу ВСD
Треугольник DВС - равнобедренный и ВD=ВС.
Опустим из В на АС перпендикуляр ВН и вспомним теорему:
Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из  них больше, которая  имеет большую проекцию на эту прямую.
АН проекция АВ на АС. 
DН - проекция ВD на АС
АН=АD+DН, поэтому  АН >DH.
Следовательно, АВ>ВD.
 Но, как доказано выше,  ВD =ВС. Следовательно, АВ>BC, что и требовалось доказать. 
----------
[email protected]

---