Знаки препинания проверьте: Как сильно начинает биться мое сердце, когда я вижу тебя и ты улыбаешься именно мне, и никому другому.
Не нужна запятая перед "и никому другому" (однородные дополнения, союз единичный).
после 'я вижу тебя' запятаЯ перед и
Как сильно начинает биться мое сердце, когда я вижу тебя и ты улыбаешься именно мне и никому другому.
Как сильно начинает биться моё сердце, когда я вижу тебя, и ты улыбаешься именно мне и никому другому.