Линейная зависимость векторов
Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация, при не равных нулю одновременно ai, т. е. .
Если же только при ai = 0 выполняется, то векторы называются линейно независимыми.
Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.
Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.
Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.
Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.
Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.