Докажите,что число 100....004 (между 1 и 4 стоит любое число нулей) не является квадратом...

Число $10.....04$ можно записать как $10^n+4$ где $n\in N$
Положим что существует такое число $x^2$ , что
$10^n+4=x^2\\\\$
воспользуемся таким фактом, квадрат числа сравним по модулю $3$ c $1$ и $0$ .
Слева число четное так как оканчивается на цифру $4$ , так как число
$10^n\equiv1 \ (mod3)$ а число $4$ с $1$ , то остаток равен $2$ что не верно , не может быть что слева делиться а справа нет
ч.т.д