Найдите наименьший корень уравнения принадлежащий отрезку U ≤ x ≤ 8. Пожалуйста с...

Question

Дан 1 ответ

ARHO_zn · Answer 1 · 2018-03-20T01:29:33+0000

Вообще, уравнение проще решить графическим способом, но для анализа функции её хорошо бы продифференцировать.
Поскольку задача указана для средней школы, то решим задачу в лоб, что длиннее.
Для начала нужно выкинуть cos из уравнения, чтобы можно было заменой уйти от тригонометрических функций.
$sin \frac{ \pi x}{4} + cos \frac{ \pi x}{4} = sin \frac{ \pi x}{4} +\sqrt{1-sin^{2}\frac{ \pi x}{4} } =$ /Замена $y=sin \frac{ \pi x}{4}$ /
=\sqrt{1-y^{2} } =1-y^{2} + U -1=> " alt="y+ \sqrt{1-y^{2} } =U=>\sqrt{1-y^{2} } =1-y^{2} + U -1=> " align="absmiddle" class="latex-formula"> /Замена $z=\sqrt{1-y^{2} }$ /
=> " alt="z=z^{2} +U-1=> " align="absmiddle" class="latex-formula">
=> D=b^{2} -4ac=1+4(U-1)=" alt="z^{2}-z +U-1=0 => D=b^{2} -4ac=1+4(U-1)=" align="absmiddle" class="latex-formula">
В случае, если $D \geq 0,$ то уравнение имеет решение.
=> При U \geq \frac{3}{4} " alt="4U-3 \geq 0 => U \geq \frac{3}{4} " align="absmiddle" class="latex-formula">;
То есть при $U <\frac{3}{4}$ , решений нет.
$z_{1,2} = \frac{-b +/- \sqrt{D} }{2a} =\frac{-1 +/- \sqrt{4U-3} }{2}$
Поскольку z - это корень, то по определению корня это неотрицательное число => $z = \frac{\sqrt{4U-3} -1}{2}=\sqrt{1-y^{2}}$

=> (\sqrt{4U-3} -1)^2=4(1-y^{2})" alt="\sqrt{4U-3} -1=2\sqrt{1-y^{2}}=>(\sqrt{4U-3} -1)^2=4(1-y^{2})" align="absmiddle" class="latex-formula">
=> 4y^{2} = 6-4U +2 \sqrt{4U-3}" alt="4U-3-2\sqrt{4U-3} +1=4-4y^{2} => 4y^{2} = 6-4U +2 \sqrt{4U-3}" align="absmiddle" class="latex-formula">
=> $y = \frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2}$
При этом должно выполняться неравенство $\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}} \geq 0$ , иначе корней нет. Пометим это выражение (1*)

$y=sin \frac{ \pi x}{4}=\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2}[$
Решения есть, если $-1\leq \frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2} \leq 1$

=> $\frac{ \pi x}{4}=(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+/pi k$ , где k принадлежит Z
=> $x=\frac{4}{ \pi }( (-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+/pi k)$
=> $x=\frac{4}{ \pi }(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+\frac{4}{ \pi } /pi k$
=> $x=\frac{4}{ \pi }(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2})+4 \sqrt{/pi} k$
Поскольку мы ищем наименьший корень, то что числитель должен быть наименьшим при минимальном k либо максимальным при минимальном k, найденные числа необходимо сравнить => Найдём сначала наименьшее значение
Выражение $\frac{\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}}{2}$ должно быть наименьшим
=> Выражение $\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}$ должно быть наименьшим
=> Выражение $6-4U +2 \sqrt{4U-3}$ должно быть наименьшим
$6-4U +2 \sqrt{4U-3}=$ /Замена k=4U-3/ $=3-k^2 +2 k= -k^2+2k+3$
Это формула параболы с ветвями, направленными вниз с вершиной при k=1. При этом вспомним, что в выражении (1*) мы требуем, чтобы данное выражение было $\geq 0$
=> Наименьших значений это выражение будет достигать в точках пересечения с 0
=> k_{1,2} = \frac{-m+/-D/4}{a}= \frac{1+/-2}{1}" alt="D/4=m^2-ac= 1+3=4=2^2 =>k_{1,2} = \frac{-m+/-D/4}{a}= \frac{1+/-2}{1}" align="absmiddle" class="latex-formula">
4U_{1}-3=-1 => U_{1}=1/2" alt="k_{1} =-1; k_{2} =3; => 4U_{1}-3=-1 => U_{1}=1/2" align="absmiddle" class="latex-formula">
=> U_{2} = 3/2;" alt=" 4U_{2}-3=3 => U_{2} = 3/2;" align="absmiddle" class="latex-formula">
Поскольку у нас ограничения для $U\geq\frac{3}{4}$ , то минимальное значение будет достигаться при U=3/2;
Проверим это значение U ещё вот по этому ограничению :
0" alt="\sqrt{6-4U +2 \sqrt{4U-3}}=\sqrt{2\sqrt{3}} > 0" align="absmiddle" class="latex-formula">
=> $x=\frac{4}{ \pi }(-1)^k arcsin(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2})+4 \sqrt{/pi} k$
$x \geq \frac{3}{2}$ - это следует из условий задачи
=> k=1 => $x=\frac{4}{ \pi }(-1) arcsin(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2})+4 \sqrt{/pi}$ (11)
Вообще, нужно ещё доказать, что минимальное значение арксинуса в сумме с слагаемым при k=1 меньше, чем максимальное значение арксинуса при k=0.
Арксинус максимален в вершине параболы описывающей его числетель => U=1 => $x=\frac{4}{ \pi } arcsin(\frac{\sqrt{6-4 +2 \sqrt{4-3}}}{2})$
=> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=+x%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B+%5Cpi+%7D+arcsin%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B4%7D%7D%7B2%7D%29+" id="TexFormula38" title=" x=\frac{4}{ \pi } arcsin(\frac{\sqrt{4}}{2}) " alt=" x=\frac{4}{ \pi } arcsin(\frac{\sqrt{4}}{2}) " align="absmiddle" class="latex