Довести що функції f(х) і ф(х) при х→0 нескінченно малі одного порядку f(x)= arctq^2 3x;...

Рассмотрим предел при х стремящемся к нулю отношения этих двух функций:

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\varphi (x)}=\lim_{x \to 0} \frac{arctg^2(3x)}{4x^2}$

Согласно правилу Лопиталя предел отношения функций равен пределу отношения их производных. Применим это правило дважды:

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\varphi (x)}=\frac{3}{4}\lim_{x \to 0} \frac{arctg(3x)}{9x^3+x}=\\ =\frac{3}{4}\lim_{x \to 0} \frac{3}{243x^4+36x^2+1}=\frac{3}{4} \cdot 3=\frac{9}{4}$

Поскольку предел отношения двух функций конечен и не равен нулю, функции имеют один порядок малости.