Найти все целочисленные решения уравнения 1)3x+4y=18;2)9x-7y=4

$1)\quad 3x+4y=18$

Подбором определим, что частным решением этго уравнения являются числа $x_0=2\; ,\; \; y_0=3$ . Тогда уравнение можно переписать в виде:

$3x_0+4y_0=18$

Вычтем из исходного уравнения последнее, получим

$3(x-x_0)+4(y-y_0)=0\\\\3(x-x_0)=-4(y-y_0)$

Поскольку 3 и 4 - взаимно простые числа, то $x-x_0$ делится на 4, а $y-y_0$ делится на (-3), то есть можно записать

$x-x_0=4k\; ,\; \; y-y_0=-3k\\\\x=x_0+4k\; ,\; \; y=y_0-3k$ , $k\in Z$

Значит, общее решение можно записать в виде:

$x=2+4k\; ,\; \; y=3-3k$ , $k\in Z$

$2)\quad 9x-7y=4\quad (1)\\\\9\cdot 2-7\cdot 2=18-14=4\; \; \Rightarrow \; \; x_0=2\; ,\; y_0=2\\\\9\cdot x_0-7\cdot y_0=4\quad (2)\\\\(1)-(2):\quad 9(x-x_0)-7(y-y_0)=0\; \; \to \\\\9(x-x_0)=7(y-y_0)\\\\x-x_0=7k\; ,\; \; y-y_0=9k\; ,\; \; k\in Z\\\\x=x_0+7k\; ,\; \; y=y_0+9k\\\\ \left \{ {{x=2+7k} \atop {y=2+9k}} \right. \; ,\; k\in Z$