В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, СН-высота, АВ=12, tgВ=1/3. найдите АН.

$1+tg ^{2}(\angle B)= \frac{1}{cos ^{2}(\angle B) } \Rightarrow cos ^{2}(\angle B)= \frac{1}{1+ \frac{1}{9} }=0,9 \\ cos(\angle B)=0,3$
знак "+", так как угол В - острый.
ВС=АВ·сos(AC²=AB²-BC²=12²-3,6²=15.6·8,4

ΔАВС~ΔACH по двум углам( один угол в 90°, второй угол А - общий)
Из подобия следует:
АС : АВ = АН : АС
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
АС²=АВ·АН.
АН=15,6·8,4/12=10,92