Трехзначное число в системе счисления по основанию p может быть записано, как ![N_{(p)}=n_2\times p^2+n_1\times p^1+n_0\times p^0; \\ N_{(p)}=n_2\times p^2+n_1\times p+n_0, \ \begin {cases} p \in \mathbb Z, \{n_2,n_1,n_0\} \in \mathbb Z \\ n_2 \in [1;p-1], \ \{n_1,n_0\} \in [0;p-1] \\ n_2 \ne n_0 \end {cases}](https://tex.z-dn.net/?f=N_%7B%28p%29%7D%3Dn_2%5Ctimes+p%5E2%2Bn_1%5Ctimes+p%5E1%2Bn_0%5Ctimes+p%5E0%3B+%5C%5C+N_%7B%28p%29%7D%3Dn_2%5Ctimes+p%5E2%2Bn_1%5Ctimes+p%2Bn_0%2C+%5C+%5Cbegin+%7Bcases%7D+p+%5Cin+%5Cmathbb+Z%2C+%5C%7Bn_2%2Cn_1%2Cn_0%5C%7D+%5Cin+%5Cmathbb+Z+%5C%5C+n_2+%5Cin+%5B1%3Bp-1%5D%2C+%5C+%5C%7Bn_1%2Cn_0%5C%7D+%5Cin+%5B0%3Bp-1%5D+%5C%5C+n_2+%5Cne+n_0+%5Cend+%7Bcases%7D "N_{(p)}=n_2\times p^2+n_1\times p^1+n_0\times p^0; \\ N_{(p)}=n_2\times p^2+n_1\times p+n_0, \ \begin {cases} p \in \mathbb Z, \{n_2,n_1,n_0\} \in \mathbb Z \\ n_2 \in [1;p-1], \ \{n_1,n_0\} \in [0;p-1] \\ n_2 \ne n_0 \end {cases}")
Разница между максимальным и минимальным трехзначными числами должна превышать десятичное число 200 (пока не будем учитывать дополнительное ограничение на несимметричность), т.е.
200; \\ (p^3-p^2+p^2-p+p-1)-p^2>200; \ p^3-1>200 \to p> \sqrt[3]{200} " alt="\big((p-1)\times p^2+(p-1)\times p+(p-1)\big)-\big((p^2+0\times p^1+0)\big)>200; \\ (p^3-p^2+p^2-p+p-1)-p^2>200; \ p^3-1>200 \to p> \sqrt[3]{200} " align="absmiddle" class="latex-formula">
В целых числах получаем условие p≥6, т.е. основание системы счисления не может быть меньше 6.
Найдем, сколько трехзначных чисел можно получить в системе счисления с основанием 6: 
Симметричными будут числа вида 5х5, 4х4, 3х3, 2х2, 1х1, где х - любая из цифр по основанию 6. Итого получается пять групп, в каждой из которых шесть чисел, т.е. всего трехзначных симметричных чисел может быть 30. Следовательно, в системе счисления по основанию 6 можно записать 215-30=185 трехзначных несимметричных чисел, что меньше ограничения 200.
Проверим систему счисления по основанию 7: 
Симметричными будут числа вида 6х6, 5х5,
4х4, 3х3, 2х2, 1х1, где х - любая из цифр по основанию 7. Итого
получается шесть групп, в каждой из которых семь чисел, т.е. всего
трехзначных симметричных чисел может быть 42. Следовательно, в системе
счисления по основанию 7 можно записать 342-42=300 трехзначных
несимметричных чисел, что превышает ограничение 200.
Ответ: 7