Слово шествовать относится к словам, которые пишутся без непроизносимых согласных. Образовано оно от слова шествие. И проверить эту непроизносимую согласную, которой на письме нет, зато некоторые при произношении данного слова её добавляют, нельзя, следует только запомнить.
На мой взгляд, ошибки в правописании и произношении данного слова возникают, так как есть слово шефствовать, которое образовано от слова шефы.