Движение тела состоит из двух симметричных половин: cначала подъём до максимальной высоты H, а потом падение обратно на землю.
Сначала найдём максимальную высоту подъёма:
H = v²/2g
Теперь вычислим, за какое время t тело с высоты H упадёт до высоты h:
H–h = gt²/2
t² = 2(H–h)/g = 2(v²/2g – h)/g = v²/g² – 2h/g
Время t время равно половине Δt, поэтому
Δt²/4 = v²/g² – 2h/g
v²/g² = Δt²/4 + 2h/g
v² = g²Δt²/4 + 2hg
v = √(g²Δt²/4 + 2hg)
=======================
Можно решить другом способом:
Начальная кинетическая энергия тела равна mv²/2, а энергия на высоте h:
mu²/2 = mv²/2 – mgh, где u – скорость на высоте h.
u² = v² – 2gh
Время Δt равно удвоенному времени, необходимому, чтобы сила тяжести погасила скорость u:
Δt = 2u/g
u = gΔt/2
u² = g²Δt²/4
g²Δt²/4 = v² – 2gh
v² = g²Δt²/4 + 2gh
v = √(g²Δt²/4 + 2hg)