В равнобедренном треугольнике высоты проведенные к основанию и к боковой стороне...

Question

В равнобедренном треугольнике высоты проведенные к основанию и к боковой стороне соответственно равны 10 и 12. Найти радиус окружности вписанной в этоттреугольник.

Answer 1

X - такое число, что основание равно 12*x, боковая сторона 10*x;
(Ну, тогда площадь просто равна S = 10*12*x/2; не зависимо от того, как её считать - через основание или боковую сторону. Можно считать это выражение определением неизвестной x)
Высота к основанию 10 делит треугольник на два равных прямоугольных, у каждого из них катеты 6*x и 10, гипотенуза 10*x; 
Отсюда 10 = 8*x; (ну, сосчитайте по теореме Пифагора, хотя тут проще всё - треугольники получились "египетские", то есть подобные треугольнику со сторонами 3,4,5, коэффициент подобия 2*x)
x = 5/4; основание 12*x = 15; боковые стороны 10*x = 25/2; 
полупериметр p = 25/2 + 15/2 = 20; площадь S = 15*10/2 = 75;
r = S/p = 15/4;

Самое занятное, что здесь вообще не надо ничего этого делать.
ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ числа x
S = 60*x; и p = 16*x; откуда r = S/p = 60/16 = 15/4; :))

Comments

чтобы было понятно, ПУСТЬ x = S/60; тогда a = 2*60*x/10 = 12x; b = 10*x; В общем случае, если заданы две ВЫСОТЫ t и q то определяем (!) x = 2S/tq; тогда a = qx; b = tx; p = (t + q/2); S = tqx/2; r = S/p = tq/(2t + q); вот если не равнобедренный, то что будет?

---

а будет вот что :) если высоты h1 h2 h3 то p = S/h1 + S/h2 + S/h3; 1/r = 1/h1 + 1/h2 + 1/h3; :)

---

для этой задачи 1/r = 1/10 + 1/12 + 1/12 = 16/60 = 4/15; r = 15/4