Фонарики - имя существительное, мн.ч, имен падеж, подлежащее.
Зажглись - глагол в инфинитив (н.ф), сказуемое.
Зажглись где? У края земли - обстоятельство места , фразеологический оборот ( идиома)
Зажглись у кого? у светлячков - дополнение, имя существительное, родительный или винительный падеж, множественного числа.