Докажите,что сумма двух векторов,имеющих равные модули,но противоположныхпо...

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Вектор $\vec b$ , имеющий модуль, равный модулю другого вектора $\vec a$ и противоположный этому вектору по направлению, называется противоположным вектором. В этом случае удобно использовать обозначения $\vec a$ и $-\vec a$ .
Сложим эти два вектора по правилу треугольника. Отложим от конца вектора $\vec a$ вектор $-\vec a$ , тогда конец этого вектора совпадет с началом вектора $\vec a$ .
Но это означает, что $\vec a+(-\vec a)=\vec 0$

Alviko_zn (142k баллов) 20 Март, 18

Dredo_zn · Answer 1 · 2018-03-20T09:02:56+0000

Примечание. Условие сформулировано недостаточно общно. Чтобы сумма таких векторов была равна нуль-вектору, нужно еще чтобы они лежали на одной прямой и их модули полностью накладывались друг на друга.
Приведу два способа доказательства - один основан на здравом смысле, а второй - на математике.
1. *Здравый смысл*.
Вектор, нестрого говоря, - это направленный отрезок, а минус вектор - это вектор той же длины, только смотрящий в противоположную сторону. По определению суммы векторов, в результате суммирования, должен получиться вектор, начало которого совпадает с началом первого слагаемого, а конец - с концом второго. Но у нас векторы находятся на одной прямой, а их отрезки полностью совпадают; - выходит, начало первого совпадает с концом второго. Стало быть, раз они совпадают, сумма равна нулю.
2. *Математика*.
Вообще говоря, вектор - это такой тензор ранга (0,1). То есть, если есть n-мерное пространство (в нашем случае, n=3), то вектор задается табличкой из чисел размерами (1*n) или (n*1) (в нашем случае, столбцом или строчкой из трех чисел - координат).
Пускай теперь вектор, скажем, $\vec \alpha$ имеет координаты $a,b,c$ . Записывается это так:
$a= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ .
Тогда второй вектор:
$\beta=-\alpha=\begin{pmatrix} -a \\ -b \\ -c\\ \end{pmatrix}$ .
И их сумма:
$\alpha+\beta=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c\\ \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} -a \\ -b \\ -c\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a-a\\b-b\\c-c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\equiv 0$
Вот и все. Получился нуль-вектор.