Проверочное слово - белый.
Образовано из прилагательного белый. Первоначальное значение – "белое полотно". Впоследствии, когда для белья стали использовать ткани розового, голубого и других цветов, слово утратило свое исходное значение, и теперь, говоря белье, мы имеем в виду постельные принадлежности, рубашки, сорочки любых цветов.