Решите уравнения sin 4 x+cos^2 2x=2

Так как синус и косинус ограничены, то:
$-1 \leq \sin \alpha \leq 1 \\\ 0 \leq \cos^2 \beta \leq 1$

Так как в правой части стоит число 2, то значит каждое из двух слагаемых в левой части принимает значение 1.

$\sin4x=1 \\\ 4x= \frac{ \pi }{2} +2 \pi n \\\ x= \frac{ \pi }{8} + \frac{ \pi n}{2} , \ n\in Z$

$\cos^22x=1 \\\ \cos2x=\pm1 \\\ 2x= \pi k \\\ x= \frac{ \pi k}{2} , \ k\in Z$

Ответ: $\frac{ \pi }{8} + \frac{ \pi n}{2}$ и $\frac{ \pi k}{2}$ , где n и k - целые числа