0\\e^x>0\Rightarrow x>0\\\\2)\;\ln\frac x{e^x}-x^2=\ln x-\ln e^x-x^2=\ln x-x-x^2\\\\3)\;y'=\frac1x-1-2x\\y'>0:\\\frac1x-1-2x>0\\\frac{1-x-2x^2}x>0\\x>0\;no\;O.O.\Phi.\\1-x-2x^2>0\\-2(x-\frac12)(x+1)>0\\ x\in(-1;\;\frac12)\\no\;O.O.\Phi.\;x>0\Rightarrow x\in\left(0,\;\frac12\right)" alt="y=\ln\frac{x}{e^x}-x^2\\1)\;O.O.\Phi.:\;\frac x{e^x}>0\\e^x>0\Rightarrow x>0\\\\2)\;\ln\frac x{e^x}-x^2=\ln x-\ln e^x-x^2=\ln x-x-x^2\\\\3)\;y'=\frac1x-1-2x\\y'>0:\\\frac1x-1-2x>0\\\frac{1-x-2x^2}x>0\\x>0\;no\;O.O.\Phi.\\1-x-2x^2>0\\-2(x-\frac12)(x+1)>0\\ x\in(-1;\;\frac12)\\no\;O.O.\Phi.\;x>0\Rightarrow x\in\left(0,\;\frac12\right)" align="absmiddle" class="latex-formula">
0\Rightarrow x\in(\frac12;\;+\infty)" alt="y'<0:\\-2(x+1)(x-\frac12)<0\\x\in(-\infty;\;-1)\cup(\frac12;\;+\infty)\\no\;O.O.\Phi.\;x>0\Rightarrow x\in(\frac12;\;+\infty)" align="absmiddle" class="latex-formula">
Функция возрастает при x∈(0; 1/2), убывает при x∈(1/2; +
∞).
4) В точке максимума производная функции меняет знак с плюса на минус. В данном случае это точка 1/2.
