Пусть
(можно считать, что это данная множество чисел, потому включив в нее 0, не изменится ответ к вопросу,
Докажем, что когда В разбить на две группы так, как это требует условие задачи, то сумма всех чисел одной группы будет равна сумме всех чисел второй.
Все числа с множеств В имеют вид
, где р - равно нулю или 1, а цифры q, a ,b могут быть произвольными. Разобьем множество В на две подмножества Н и K, включив до Н все числа из В с нечетным суммой цифр, а в K - с четным.
Обозанчим через
и
суммы чисел соотвественно с Н и К. Докажем, что
Для этого, подадим
как сумму
где,
- сумма чисел
, в которой (a+b) нечетное число( поэтому (p+q) - четное число), а
сумма чисел
, в которой (a+b) - четное число ( отсюда (p+q) - нечетное число). Аналогично сделаем это суммой
, положив
, где
сумма чисел
, в которых и (a+b) и (p+q) - нечетные( соотвественно, и (a+b), и (p+q) - четные числа). Тогда
Где виражение
содержит только те числа
, в которых (a+b) - нечетное, а выражение
-только те числа
, в которых (a+b) - четное.
ПОкажем что
. Зафиксируем цифры a и b и рассмотрим в суммах
и
слагаемых, запись которых заканчивается этимы цифрами. Они имееют соответсвенно вид
где
четное, и
, где
нечетное,причем таких слагаемых в суммах
и
содержится поровну.
Для них имеем
.
Обозначим через
(соотвественно через
)
сумму всех чисел
, где
и (p+q) - четное(соотвественно нечетное)
Поскольку
, то сумма всех разностей равен
. Это правильно для произвольных a и b,
Итак,
Аналогично, получим, что
.
Теперь вернемся к множествам А.
Пусть
и
- суммы чисел, которые пренадлежат к А, и имеют соотвественно четную и нечетную суммы цифр. Поскольку,
то имеем
Отсюда,
и тогда
, потому что
Ответ: 2.