Надо научиться снимать знак логарифма (потенцировать) , при этом учитывать, что логарифм отрицательного числа и нуля не существует. Поэтому любое логарифмическое уравнение (неравенство) надо начинать с ОДЗ.
1) а) ОДЗ
у^2+75 больше 0 ( это неравенство выполняется при любых у),
у - 4 больше 0⇒у больше 4.
б) Запишем 2 как lg100 ( чтобы снять знак логарифма, надо каждое слагаемое представить в виде логарифма по одному и тому же основанию)
Уравнение примет вид: lg(y^2 +75) - lg(y-4) = lg100.
(Учитываем, что логарифм- это показатель, а показатели при умножении складываются, а при делении вычитаются)
(y^2 +75)/(y-4) =100.
Решаем это уравнение. Умножим обе части уравнения на (у - 4).
Получим у^2 +75 = 100·(y - 4),
y^2 - 100y +475 = 0.
y = 95 и y = 5( Оба числа подходят к ОДЗ и поэтому оба пойдут в ответ.
2) а) ОДЗ
х^2 - 5x +6 больше нуля. Этот квадратный трёхчлен имеет корни 2 и 3, поэтому положителен будет
при х∈(минус бесконечность;2) ∨(3;плюс бескончность)
б) Запишем -1 как log 7
осн-е 1/7
Уравнение примет вид: log(x^2 - 5x + 6) = log 7
осн-е 1/7 осн-е 1/7
Снимаем знак логарифма ( потенцируем)
x^2 - 5x + 6 = 7.
x^2 -5x -1 = 0. Решаем Ответы будут в виде корней, только проверь, чтобы они в ходили в ОДЗ.
3) а) ОДЗ
х + 23 больше 0⇒ х больше -23
Запишем -2 как log25
осн-е 1/5
Неравенство примет вид :log(x + 23) ≤ log25
осн-е 1/5 осн-е 1/5
Теперь надо учесть, что 1/5 меньше 1 и поэтому следующее неравенство будет: :х + 23 ≥ 25⇒х≥2.
4) а) ОДЗ
x^2 +3x -10 больше 0
х - 2 больше 0
Решаем оба неравенства и ищем общее решение .
Корни квадратного трёхчлена -5 и 2, поэтому он буде положителен
при х∈( минус бесконечность; -5)∨(2; плюс бесконечность)
Второе неравенство х∈(2; плюс бесконечность). Этот промежуток будет ОДЗ
б) Снимаем знак логарифма ( потенцируем), получаем:
(x^2 + 3x - 10 )/(х - 2) ≥4
Решаем это неравенство, для чего умножим обе части неравенства
на (х - 2). Получим:
x^2 + 3x - 10 ≥ 4·(x - 2)⇒x^2 + 3x - 10 ≥ 4x - 8⇒x^2 - x - 2 ≥0 . Корни этого квадратного трёхчлена 2 и -1, поэтому этот трёхчлен неотрицателен на участке (-бесконечность;-1]∨[2; + бесконечность)
Смотрим в ОДЗ
В ответ пойдёт второй промежуток, причём 2 не входит в этот ответ.
Итак, ответ: х∈(2; + бесконечность)