Исследовать ** условную и абсолютную сходимость

0 голосов
65 просмотров

Исследовать на условную и абсолютную сходимость


image
image

Математика (10.7k баллов) | 65 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Знакочередующийся ряд.
Только при n=1 ln1=0, а на ноль делить нельзя.
При п=1 до +∞ ряд не существует.
Значит, n≥2
Исследуем на сходимость по признаку Лейбница
image|a _{n+1}| " alt="1) |a_{n}| \rightarrow0 \\ 2) |a _{n}|>|a _{n+1}| " align="absmiddle" class="latex-formula">
Проверяем выполнение этих условий у данного рядаimage \frac{1}{(n+1)ln(n+1)} " alt="1) \lim_{n \to \infty} \frac{1}{nlnn} =0 \\ 2) \frac{1}{nlnn}> \frac{1}{(n+1)ln(n+1)} " align="absmiddle" class="latex-formula">
верно, так как
(n+1)>n
ln(n+1)>lnn, для n>1

Перемножаем
(n+1)ln(n+1)>n·ln(n), n∈N
Знакопеременный ряд сходится по признаку Лейбница
К исследованию знакоположительного ряда \sum_{i=2}^n \frac{1}{nlnn}
применяем интегральный признак
\int\limits^{+\infty}_2 { \frac{1}{xlnx} } \, dx =ln(lnx)|_{2} ^{+\infty} =+\infty
Несобственный интеграл расходится, значит и ряд расходится.
Ответ. Ряд сходится условно

(413k баллов)