Определить p и q в квадратном уравнении x^2+px+q=0, которое имеет один корень...

Если квадратное уравнение (с действительными коэффициентами) имеет комплексные корни, то они являются сопряженными т.е. отличаются знаком коєффициента перед мнимой единицей
$x_{1,2}=c^+_-f*i$
так как $x_1=-2-\sqrt{2}*i$
то
$x_2=-2+\sqrt{2}*i$
по теореме Виета получаем
$p=-(x_1+x_2)=-(-2+\sqrt{2}+(-2-\sqrt{2}))=\\\\-(-2+\sqrt{2}-2-\sqrt{2})=4$
$q=x_1x_2=(-2-\sqrt{2})(-2+\sqrt{2})=\\\\(-2)^2-(\sqrt{2})^2=4-2=2$