Логарифмические уравнения.

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$\log_2^2x-10\log_2x+16=( \sqrt{16-x^2})^2+x^2 \\\ \log_2^2x-10\log_2x+16=|16-x^2}|+x^2$
Учитывая покоренное и подлогарифмическое выражения в исходном уравнении раскрываем модуль без смены знака
$\log_2^2x-10\log_2x+16=16 \\\ \log_2^2x-10\log_2x=0 \\\ \log_2x(\log_2x-10)=0 \\\ \log_2x=0 \\\ x=2^0=1 \\\ \log_2x=10 \\\ x=2^{10}=1024$
При подстановке корня х=1024 в исходное уравнение получаем отрицательное подлогарифмическое выражение - следовательно, это посторонний корень
Ответ: 1

$\log_2^2x-4\log_2x+4= \frac{ \sqrt{x-8} }{ \sqrt{x-8}} \\\ (\log_2x-2)^2= 1 \\\ \log_2x-2= 1 \\\ \log_2x=3 \\\ x=2^3=8 \\\ \log_2x-2=- 1 \\\ \log_2x=1 \\\ x=2^1=2$
Однако при х=2 квадратный корень не определен, а при х=8 деление на ноль невозможно
Ответ: нет корней

$4\log_6(3- \frac{3}{2x+3})-4=5\log_6(2+ \frac{1}{x+1} ) \\\ \log_6( \frac{3(2x+3)-3}{2x+3})^4-4\log_66=\log_6( \frac{2(x+1)+1}{x+1} )^5 \\\ \log_6( \frac{6x+6}{2x+3})^4-\log_66^4=\log_6( \frac{2x+3}{x+1} )^5 \\\ \log_6( \frac{6x+6}{6(2x+3)})^4=\log_6( \frac{2x+3}{x+1} )^5 \\\ \log_6( \frac{x+1}{2x+3})^4=\log_6( \frac{2x+3}{x+1} )^5 \\\ ( \frac{x+1}{2x+3})^4=( \frac{2x+3}{x+1} )^5 \\\ (2x+3)^9=(x+1)^9 \\\ 2x+3=x+1 \\\ x=-2$
При подстановке корня в исходное уравнение получается верное равенство
Ответ: -2

Свойство: $b^{\log_ac}=c^{\log_ab}$
$x^{\lg25}+25^{\lg x}=10 \\\ 25^{\lg x}+25^{\lg x}=10 \\\ 2\cdot25^{\lg x}=10 \\\ 25^{\lg x}=5 \\\ 5^{2\lg x}=5 \\\ 2\lg x=1 \\\ \lg x= \frac{1}{2} \\\ x= \sqrt{10}$
Ответ: $\sqrt{10}$

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю когда оба эти числа равны нулю
$\log_3^2(x-7)+ \sqrt{(x-7)(x-8)} =0 \\\ \log_3^2(x-7)=0 \\\ \log_3(x-7)=0 \\\ 3^0=x-7 \\\ x-7=1 \\\ x=8 \\\ \sqrt{(x-7)(x-8)}=0 \\\ (x-7)(x-8)=0 \\\ x_1=7; \ x_2=8$
Общим корнем для двух уравнений будет число 8
Ответ: 8

$x^{\log_7x-3}= \frac{1-\log_7x}{49-49\log_7x} \\\ x^{\log_7x-3}= \frac{1-\log_7x}{49(1-\log_7x)} \\\ x^{\log_7x-3}= \frac{1}{49} =7^{2} \\\ log_7x^{\log_7x-3}=log_77^{2} \\\ (\log_7x-3)\log_7x=-2 \\\ \log_7^2x-3\log_7x+2=0 \\\ (\log_7x-2)(\log_7x-1)=0 \\\ \log_7x=2; x=7^2=49 \\\ \log_7x=1; x=7^1=7$
Наименьшим их полученных корней является число 7, однако в при подстановке его в исходное уравнение получаем деление на ноль. При подстановке корня х=49 получаем верное равенство
Ответ: 49

$(x^2-x-2)\log_7(1-x^2-3x)=0 \\\ x^2-x-2=0 \\\ (x-2)(x+1)=0 \\\ x_1=2; \ x_2=-1 \\\ \log_7(1-x^2-3x)=0 \\\ 1-x^2-3x=7^0=1 \\\ x^2+3x=0 \\\ x(x+3)=0 \\\ x_3=0; \ x_4=-3$
ОДЗ логарифма:

0 \\\ x^2+3x-1 <0 \\\ x^2+3x-1=0 \\\ D=3^2+4=13 \\\ x= \frac{-3\pm \sqrt{13} }{2} \\\ x\in(\frac{-3-\sqrt{13} }{2} ; \frac{-3+\sqrt{13} }{2} ) \\\ x\in(-\approx3.3;\approx0.3)" alt="1-x^2-3x >0 \\\ x^2+3x-1 <0 \\\ x^2+3x-1=0 \\\ D=3^2+4=13 \\\ x= \frac{-3\pm \sqrt{13} }{2} \\\ x\in(\frac{-3-\sqrt{13} }{2} ; \frac{-3+\sqrt{13} }{2} ) \\\ x\in(-\approx3.3;\approx0.3)" align="absmiddle" class="latex-formula">
Следовательно корень х=2 - посторонний
$x_2+x_3+x_4=-1+0-3=-4$
Ответ: -4

$\log_4(x^2-2x+1)\cdot ctg \pi x=0 \\\ \log_4(x-1)^2\cdot ctg \pi x=0 \\\ \log_4(x^2-2x+1)=0 \\\ x^2-2x+1=4^0=1 \\\ x^2-2x=0 \\\ x(x-2)=0 \\\ x_1=0; \ x_2=2 \\\ ctg(2 \pi )=ctg0 \neq$
При тех значениях х когда логарифмическая функция обращается в ноль функция котангенса не определена.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=ctg+%5Cpi+x%3D0%0A%5C%5C%5C%0A+%5Cpi+x%3D+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B2%7D+%2B+%5Cpi+n%0A%5C%5C%5C%0Ax%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2Bn%2C+%5C++n%5Cin+Z" id="TexFormula14" title="ctg \pi x=0 \\\ \pi x= \frac{ \pi }{2} + \pi n \\\ x= \frac{1}{2} +n, \ n\in Z" alt="ctg \pi x=0 \\\ \pi x= \frac{ \pi }{2} + \pi n \\\ x= \frac{1}{2} +n, \ n\in

Artem112_zn (271k баллов) 21 Март, 18

аноним · Answer 1 · 2018-03-21T02:26:27+0000

1)(log(2)x)²-10log(2)x+16=/16-x²/+x²
ОДЗ x>0
(log(2)x)²-10log(2)x+16=16-x²+x²=16
(log(2)x)²-10log(2)x=0
log(2)x(log(2)x- 10)=0
log(2)x=0⇒x=1
log(2)x=10⇒x=1024
Проверка
х=1 (log(2)1)²-10log(2)1+16=/16-1/+1⇒0-10*0+16=16⇒16=16
х=1024 (log(2)1024)²-10log(2)1024+16=/16-1024²/+1024²⇒16≠-16+2*1024²
Ответ х=1

2)(log(2)x)²-4log(2)x+4= $\sqrt{x-8} / \sqrt{x-8}$
ОДЗ x>0 U x>8⇒x>8
(log(2)x)²-4log(2)x+4=1
(log(2)x - 2)²=1
log(2)x - 2=1 или log(2)x - 2=-1
log(2)x =3 или log(2)x =1
х=8∉ОДЗ или х=2∉ОДЗ
Ответ решения нет

3)4log(6)[3 -3/(2x+3)]^4 -4=log(6)[(2 +1/(x+1)]^5
4log(6)[6(x+1)/(2x+3)]^4 -4=log(6)[(2x+3)/(x+1)]^5
ОДЗ (х+1)/(2х+3)>0
x=-1 x=-1,5
+ _ +
-------------------------------------------
-1,5 -1
x∈(-∞;-1,5) U (-1;∞)
(х+1)/(2х+3)=a
log(6) (6a)^4-log(6)6^4=log(6)(1/a)^5
log(6)a^4=log(6)(1/a)^5
a^4=1/a^5
a^9=1⇒a=1⇒(х+1)/(2х+3)=1⇒x+1=2x+3⇒2x-x=1-3⇒x=-2
Ответ х=-2

4) $x^{lg25} + 25^{lgx} =10$
$25^{lgx}+ 25^{lgx} =10$ ⇒2* $25^{lgx} =10$ ⇒ $25^{lgx} =5$ ⇒
$5^{2lgx} =5$ ⇒2lgx=1⇒lgx=1/2⇒x=√10
Ответ х=√10

5)[log(3)(x-7)]²+ $\sqrt{(x-8)(x-7)} =0$
ОДЗ x>7
Сумма положительных равна 0,если каждое слагаемое равно 0
[log(3)(x-7)]²=0⇒log(3)(x-7)=0⇒x-7=1⇒x=8
(x-7)(x-8)=0⇒x=7∉ОДЗ или х=8
Ответ х=8

6) $x^{log(7)x - 3} =(1-log(7)x/(49-49log(7)x)$
$x^{log(7)x - 3} =(1-log(7)x)/49(1-log(7)x=1/49= 7^{-2}$
ОДЗ x>0 U 1-log(7)x≠0⇒log(7)x≠1⇒x≠7⇒x∈(0;7) U (7;∞)
Прологарифмируем обе части
$log(7) x^{log(7)x - 3} =log (7) 7^{-2}$
(log(7)x - 3)(log(7)x=-2
[log(7)x]²-3log(7)x+2=0
log(7)x=a
a²-3a+2=0⇒a1+a2=3 U a1*a2=2
a1=1⇒log(7)x=1⇒x=7∉ОДЗ
а2=2⇒log(7)x=2⇒x=49
Ответ х=49

7)(x²-x-2)*log(7)(1-x²-3x)=0
ОДЗ 1-х²-3х>0
x²+3x-1<0<br>D=9+4=13
x1=(-3-√13)/2 u x2=(-3+√13)/2⇒x∈((-3-√13)/2;(-3+√13)/2)
1)x²-x-2=0 или 2)log(7)(1-x²-3x)=0
1)x1+x2=1 U x1*x2=-2⇒x1=-1 или х=-2∉ОДЗ
2)1-х²-3х=1⇒х²+3х=0⇒х(х+3)=0⇒х=0 или х=-3
-1+0-3=-4-сумма корней
Ответ -4

8)log(4)(x²-2x+1)*ctgπx=0
1)log(4)(x²-2x+1)=0 или ctgπx=0
1)log(4)(x-1)²=0
ОДЗ х≠1
(х-1)²=1
х-1=1 или х-1=-1
х=2 или х=0
2)ctg2π и ctg0 не существуют,значит решением могут быть только решения уравнения ctgπx=0⇒πx=π/2+πn⇒x=1/2+n
Ответ x=1/2+n,n∈Z