Треугольник АМВ будет прямоугольным, если углы между векторами МA и МB,или AM
и АВ, или ВМ и ВА будет прямыми.
Координаты точек:A(1;3;2), B(-1;3;-4), М(Мх;0;0).
Цитата:"Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их
скалярное произведение равно нулю".
Проверим возможность перпендикулярности векторов МА и МB (вершина в точке М).
Найдем координаты векторов (координаты вектора находятся, как разность
координат КОНЦА и НАЧАЛА вектора): МА{(1-Mx);3;2}, и MB{(-1-Mx);3;-4}.Их скалярное произведение (сумма произведений их соответствующих координат):
(1-Мх)*(-1-Мх)+(3*3)+(2*(-4)) = -1+Мх-Мх+Мх²+1=Мх².
По условию перпендикулярности: Мх²=0. Мх=0. То есть вершина М лежит на оси 0Х при координатах: М(0;0;0).
Проверим возможность перпендикулярности векторов АМ и АВ (вершина в точке А).
Координаты векторов АВ{-2;0;-6}, АМ{(Mx-1);-3;-2}.
Их скалярное произведение: (Мх-1)*(-2)+0+12 = -2*Mx+2+12 =-2*Mx+14.
По условию перпендикулярности:-2*Mx+14=0. Отсюда Мх=7.
Проверим возможность перпендикулярности векторов BМ и BA (вершина в точке В).
Координаты векторов BA{2;0;6}, BМ{(Mx+1);-3;4}
Их скалярное произведение: (Мх+1)*2+0+24 = 2*Mx+26.
По условию перпендикулярности: 2*Mx+26=0. Отсюда Mx=-13.
Ответ: М(0;0;0), M(7;0;0) и М(-13;0;0)