Покажем, что (cos x)'=-sin x
По определению 
0} \frac {\Delta y}{\Delta x}" alt="y'=lim_{\Delta x->0} \frac {\Delta y}{\Delta x}" align="absmiddle" class="latex-formula">
Приращение функции равно
Ищем отношение
Перейдем в этом равенстве к границе, когда 
0" alt="\Delta x->0" align="absmiddle" class="latex-formula">. В следствии непрерывности функции sin x
0} -sin(x+\frac{\Delta x}{2})=- -sin lim_{\Delta x->0}(x+\frac{\Delta x}{2})=-sin x" alt="lim_{\Delta x->0} -sin(x+\frac{\Delta x}{2})=- -sin lim_{\Delta x->0}(x+\frac{\Delta x}{2})=-sin x" align="absmiddle" class="latex-formula">
Для второго множителя (используя один из замечательных пределов), обозначив 
, имеем
0} \frac {sin (\frac {\Delta x}{2})}{\Delta \frac{x}{2}}= lim_{\alpha->0} \frac {sin \alpha}{\alpha}=1" alt="lim_{\Delta x->0} \frac {sin (\frac {\Delta x}{2})}{\Delta \frac{x}{2}}= lim_{\alpha->0} \frac {sin \alpha}{\alpha}=1" align="absmiddle" class="latex-formula">
Поєтому
0} \frac {\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x->0} (-sin(x+\frac{\Delta x}{2})\frac {sin (\frac {\Delta x}{2})}{\Delta \frac{x}{2}})=-sin x *1=-sin x" alt="lim_{\Delta x->0} \frac {\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x->0} (-sin(x+\frac{\Delta x}{2})\frac {sin (\frac {\Delta x}{2})}{\Delta \frac{x}{2}})=-sin x *1=-sin x" align="absmiddle" class="latex-formula">
Т.е. (сos x)'=-sinx
Производная тангенса. Возьмем любую точку х є (a;b), где (a;b) - один из интервалов, на котором определена функция tg x. Ищем приращение
Получаем отношение
переходим к границе, когда 0" alt="\Delta x->0" align="absmiddle" class="latex-formula">.
0}\frac {\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x->0}\frac{\frac {sin \Delta x}{\Delta x}}{cos(x+\Delta x)cos x}=\frac {1}{cos^2 x}" alt="lim_{\Delta x->0}\frac {\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x->0}\frac{\frac {sin \Delta x}{\Delta x}}{cos(x+\Delta x)cos x}=\frac {1}{cos^2 x}" align="absmiddle" class="latex-formula">
Следовательно производная функции y=tg x существует и равна
