ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ ПРИМЕР ПО МАТЕМАТИКЕтема числовые ряды. признаки сходимости

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Первым делом проверяем условие $\forall n\in\mathbb{N} \ a_n \geq 0$
Смысл проверки в том, что для рядов с непостоянным знаком у нас есть только признак Вейерштрасса и признак Абеля, а значит - отпадают признаки неравенства, Даламбера,радикала, интеграла, $|\sum_{n=0}^{\infty} a_n|<\infty \Leftrightarrow \ |\sum_{n=0}^{\infty} 2^na_{2^n}|<\infty$ и т.д...

В данном случае ряд знак не меняет. Применяем радикальный признак:
$\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}$
В данном случае последовательность сходится, значит $\liminf=\limsup=\lim$
Получаем: $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}<1$
Следовательно - ряд сходится.
Напоминаю радикальный признак:
1 \Rightarrow |\sum a_n|=\infty \\ if q=1 \Rightarrow ?" alt="\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=q\\ if \ q<1 \Rightarrow |\sum a_n|<\infty \\ if \ q>1 \Rightarrow |\sum a_n|=\infty \\ if q=1 \Rightarrow ?" align="absmiddle" class="latex-formula">

Ещё один способ - признак Даламбера. Он облегчает подсчёт предела последовательности, но если 0" alt="\liminf a_n<0 \ \land \ \limsup a_n>0" align="absmiddle" class="latex-formula"> - ответа не даст. Потому применяется, в основном, если у последовательности есть предел по Коши.
Признак Даламбера:
$\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac{1}{2}$
Условия схождения у Даламбера такие-же, как у радикального признака, потому повторно писать не буду.

Вроде всё, если что не ясно - пиши.

P.S. Архи-важная вещь по признаку Даламбера:
1 \Rightarrow|\sum_{n=0}^\infty a_n|=\infty \\ \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1 \Rightarrow|\sum_{n=0}^\infty a_n|<\infty \\ (\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1 \ or \ \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1 \ means \ nothing\\ \\" alt="\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1 \Rightarrow|\sum_{n=0}^\infty a_n|=\infty \\ \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1 \Rightarrow|\sum_{n=0}^\infty a_n|<\infty \\ (\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1 \ or \ \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1 \ means \ nothing\\ \\" align="absmiddle" class="latex-formula">

M0RDOK_zn (2.2k баллов) 21 Март, 18