ВНИМАНИЕ! Много пунктов. Найти область определения функции:...

Дробь не определена, если её знаменатель равен 0, подкоренное выражение не имеет смысла, если оно отрицательно.
Поэтому
$- \frac{7}{ x^{2} +3x} \geq 0\Rightarrow x^{2} +3x<0$
x(x+3) < 0
+ - +
------------(-3)---------------(0)--------------------
|///////////////////

И
х+1≠0 ⇒ х≠-1

Окончательно:
________(-3)_____(-1)___(0)________
///////////// /////////
Ответ. (-3; -1) U (-1;0)