Отношение P называется рефлексивным, если любой элемент x находится в отношении сам к себе, т.е. (x, x) ∈ P.
Здесь это не выполняется: например, пара (1, 1) ∉ P.
Отношение называется симметричным, если из того, что x находится в отношении к y, следует, что и y находится в отношении к x, т.е. (x, y) ∈ P ⇒ (y, x) ∈ P.
Здесь это не выполняется: например, (3, 2) ∈ P, но (2, 3) ∉ P.
Отношение называется симметричным, если из того, что x находится в отношении к y и y находится в отношении к x следует, что x = y, т.е. (x, y) ∈ P, (y, x) ∈ P ⇒ x = y.
Здесь это выполняется. Пусть известно, что 2x = 3y и 3x = 2y. Сложим эти два равенства: 5x = 5y, или x = y. (На самом деле такое выполняется только для x = y = 0, т.к. должно выполняться 2x = 3x)
Отношение называется транзитивным, если из того, что x находится в отношении к y и y находится в отношении к z следует, что x находится в отношении к z, т.е. (x, y) ∈ P, (y, z) ∈ P ⇒ (x, z) ∈ P.
Здесь это не выполняется: например, (9, 6) ∈ P, (6, 4) ∈ P, но (9, 4) ∉ P.
Отношение P не рефлексивно, не симметрично, антисимметрично, не транзитивно.
На примере бинарного отношения "любит":
- рефлексивность: "Эгоистка Даша любит саму себя";
- симметричность: "Если красавчик Валера любит кого-то, то и этот кто-то любит Валеру";
- антисимметричность: "Если неудачник Эдуард любит кого-то, и этот кто-то любит Эдуарда, то этот кто-то - сам Эдуард";
- транзитивность: "По слухам, в Швеции если Коля любит Машу, а Маша любит Серёжу, то Коля любит Серёжу".