1^3+2^3+3^+...+n^3=(1+2+3+4+...+n)^2 ( ДЕЛАТЬ СТРОГО ПО ПРИМЕРУ ** ФОТО!!!!)

Question 1

1^3+2^3+3^+...+n^3=(1+2+3+4+...+n)^2 ( ДЕЛАТЬ СТРОГО ПО ПРИМЕРУ НА ФОТО!!!!)

Question 2

Используем метод математической индукции:
1) при n=1 выражение истинно (1^3 = 1^2)
2) предположим, что при n = k выражение истинно:
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}=(1+2+3+...+k)^{2}$
3) тогда при n = k + 1 имеем:
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3}=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}\\ (1+2+3+...+k)^{2}+(k+1)^{3}=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}\\ (k+1)^{3}=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}-(1+2+3+...+k)^{2}$
4) используем формулу разности квадратов:
$(k+1)^{3}=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}-(1+2+3+...+k)^{2}\\(k+1)^{3}=((1+2+3+...+k+k+1)-(1+2+3+...+k))*\\*((1+2+3+...+k+k+1)+(1+2+3+...+k))\\(k+1)^{3}=(k+1)(2(1+2+3+...+k)+k+1)$
5) по формуле арифметической прогрессии:
$(k+1)^{3}=(k+1)(2(1+2+3+...+k)+k+1)\\(k+1)^{3}=(k+1)(2*\frac{1+k}{2}*k+k+1)\\(k+1)^{3}=(k+1)(k(k+1)+(k+1))\\(k+1)^{3}=(k+1)^{3}$
Тождество доказано.

аноним · Answer 1 · 2018-03-21T20:13:52+0000

Используем метод математической индукции:
1) при n=1 выражение истинно (1^3 = 1^2)
2) предположим, что при n = k выражение истинно:
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}=(1+2+3+...+k)^{2}$
3) тогда при n = k + 1 имеем:
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3}=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}\\ (1+2+3+...+k)^{2}+(k+1)^{3}=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}\\ (k+1)^{3}=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}-(1+2+3+...+k)^{2}$
4) используем формулу разности квадратов:
$(k+1)^{3}=(1+2+3+...+k+k+1)^{2}-(1+2+3+...+k)^{2}\\(k+1)^{3}=((1+2+3+...+k+k+1)-(1+2+3+...+k))*\\*((1+2+3+...+k+k+1)+(1+2+3+...+k))\\(k+1)^{3}=(k+1)(2(1+2+3+...+k)+k+1)$
5) по формуле арифметической прогрессии:
$(k+1)^{3}=(k+1)(2(1+2+3+...+k)+k+1)\\(k+1)^{3}=(k+1)(2*\frac{1+k}{2}*k+k+1)\\(k+1)^{3}=(k+1)(k(k+1)+(k+1))\\(k+1)^{3}=(k+1)^{3}$
Тождество доказано.