Докажите что найдется такое значение х при котором значение квадратного трехчлена х²-7х+6...

Для решения рассматриваем три случая, а именно:
1) трехчлен равен нулю
2) трехчлен меньше нуля
3) трехчлен больше нуля.

Для решения уравнения $x^{2} -7x+6=0$ воспользуемся тем, что сумма все коэффициентов в этом уравнении равна нулю, отсюда следует, что один корень $x=1$ , а второй равен частному свободного члена на первый: $x=6$ . Так же можно было решать по теореме Виета: произведение корней равно шести, а их сумма семи.
Итак, $x=1$ и $x=6$ нули этого трехчлена, потому что при них значение этого выражения будет равно нулю.
Теперь, чтобы данное выражение было больше нуля, это будут все решения за нулями, то есть: 6" alt="x<1; x>6" align="absmiddle" class="latex-formula"> и наоборот, чтобы значение выражения было отрицательно нужно брать значения из отрезка между нулями, то есть: $1<x<6$ . Все, решено!
Ответ:
при $x=1$ и $x=6$ $x^2-7x+6=0$
при 6" alt="x<1;x>6" align="absmiddle" class="latex-formula"> 0" alt="x^2-7x+6>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
при $1<x<6$ $x^2-7x+6<0$