Решите уравнение |x-|2x+1||=2.

$|x-|2x+1||=2$
Данное выражение распысвается на два выражения:
$x-|2x+1|=2 \\ |2x+1|=x-2$ или $x-|2x+1|=-2 \\ |2x+1|=2-x$
Каждое из полученных уравнений расписывается в две системы:
$\left \{ {{x+2 \geq 0} \atop {2x+1=x-2}} \right.$ или $\left \{ {{x-2 \geq 0} \atop {2x+1=2-x}} \right.$ или $\left \{ {{2-x \geq 0} \atop {2x=1=2-x}} \right.$ или $\left \{ {{2-x \geq 0} \atop {2x+1=x-2}} \right.$ . Решаем сначала первые две системы. Первая:
$x-2 \geq 0 \\ x \geq 2$ - это все значения, которые могут быть в первых двух системах.
$2x+1=x-2 \\ x=-3$ (-3 не входит, потому не корень!) Решаем дальше, теперь уравнение из второй системы:
$2x+1=2-x \\ 3x=1 \\ x= \frac{1}{3}$ ( $\frac{1}{3}$ входит, потому корень!).
Решаем теперь неравенство из оставшихся двух систем:
$2-x \geq 0 \\ x \leq 2$
Теперь решаем уравнения и этих системах (третья):
$2x+1=2-x \\ 3x=1 \\ x= \frac{1}{3}$ ( $\frac{1}{3}$ входит, потому корень!)
Решаем четвертое уравнение:
$2x+1=x-2 \\ x=-3$ (-3 входит, потому корень!)

Ответ:
$x_{1} =-3 \\ x_{2} = \frac{1}{3}$