В параллеограмме abcd проведена диагональ ac.точка О является центром...

Question

В параллеограмме abcd проведена диагональ ac.точка О является центром окружности,вписанной в треугольник abc.Расстояния от точки О до точки А и прямых АD и АC соответственно равны 25,13 и 7 .Найдите площадь параллеограмма ABCD

Answer 1

Если обозначить угол OAC = α; и угол OAD = β;
то по условию  sin(β) = 13/25; sin(α) = 7/25;
и легко найти cos(α) = 24/25;
Я на всякий случай один раз напомню, что
AO, BO, CO - биссектрисы углов треугольника ABC,
точка O равноудалена от AC, AB, BC, на r = 7, само собой. 
и угол BCA = угол CAD; 
Легко видеть, что угол OCB = (β - α)/2; угол OBC = π/2 - (β + α)/2;
Отсюда BC = r*(ctg(β/2 - α/2) + tg(β/2 + α/2));
ctg(β/2 - α/2) + tg(β/2 + α/2) = cos(β/2 - α/2)/sin(β/2 - α/2) + sin(β/2 + α/2)/cos(β/2 + α/2) = ((cos(β/2 + α/2)*cos(β/2 - α/2) + sin(β/2 + α/2)*sin(β/2 - α/2))/(sin(β/2 - α/2)*cos(β/2 + α/2)) = 2*cos(α)/((sin(β) - sin(α));
получилось
BC = r*2*cos(α)/(sin(β) - sin(α)) = 7*2*24/(13 - 7) = 56.
Расстояние между BC и AD равно 7 + 13 = 20; 
Отсюда площадь параллелограмма ABCD равна 20*56 = 1120;

Comments

Соотношение BC = r*2*cos(α)/(sin(β) - sin(α)) выводилось в общем случае, то есть справедливо ВСЕГДА :) поэтому его легко проверить "на вшивость". Например, можно взять ромб из двух правильных треугольников, в котором соотношение известно BC = r*2*√3; в этом случае α = π/6; β = π/2; и всё совпадает.

---

спасибо