ОЧЕНЬ НУЖНО РЕШЕНИЕ, УМОЛЯЮ, ПОМОГИТЕОТДАЮ ВСЕ БАЛЛЫ, КОТОРЫЕ НАКОПИЛА НЕПОСИЛЬНЫМ...

Двойное неравенство можно заменить системой двух неравенств:

$0,1< 2 ^{x+3} <10\Rightarrow \left \{ {{0,1<2 ^{x+3} } \atop {2 ^{x+3}<10}} \right.$

Логарифмируем каждое неравенство системы по основанию10, знак неравенства не меняется, так как логарифмическая функция с основанием 10 - возрастающая.

$\left \{ {{lg0,1<2 ^{x+3} } \atop {lg2 ^{x+3}<lg10}}\right.$
По свойству логарифима степени показатель степени можно записать множителем перед знаком логарифма, поэтому
$\left \{ {{-1< (x+2)\cdot lg2} \atop {(x+2)\cdot lg2<1}} \right. \Rightarrow$
$-\frac{1}{lg2}<x+2<\frac{1}{lg2}\right.$
$-\frac{1}{lg2}-2<x<\frac{1}{lg2}-2\right.$

Ответ. $-\frac{1}{lg2}-2<x<\frac{1}{lg2}-2\right.$