Если натуральное число n имеет остаток k при делении на 6, его можно представить в виде n=6m+k, где m - натуральное число или 0. По условию, n взаимно просто с 6, то есть n не делится на 2 и не делится на 3. Тогда k=1 или k=5, где k - целое неотрицательное число. Рассмотрим эти два случая:
1. n=6k+1, n²=(6k+1)²=36k²+12k+1, n²-1=36k²+12k=12k(3k+1). Если k чётно, то 12k делится на 24, тогда и всё произведение делится на 24. Если k нечётно, то 12(3k+1) делится на 24, тогда тоже всё произведение делится на 24.
2. n=6k+5, n²=(6k+5)²=36k²+60k+25, n²-1=36k²+60k+24=36k²+12k+48k+24=36k²+12k+24(2k+1). Последнее слагаемое делится на 24, а то, что 2 предыдущих делятся на 24, мы доказали выше. Значит, вся сумма делится на 24.
Таким образом, если n не делится на 2 и на 3, то n²-1 всегда будет делиться на 24.