В монотонно возрастающей арифметической прогрессии сумма квадратов пятнадцатого и...

$a=(a_{1}...a_{n})$ - арифметическая прогрессия
d>0 - разность арифметической прогрессии
$\left \{ {{(a_{15})^{2}+(a_{19})^{2}=37} \atop {a_{15}+a_{19}=6}} \right.$
$a_{19}=a_{15}+4d$ - подставим в систему

$\left \{ {{(a_{15})^{2}+(a_{15}+4d)^{2}=37} \atop {a_{15}+a_{15}+4d=6}} \right.$

$\left \{ {{(a_{15})^{2}+(a_{15})^{2}+2*a_{15}*4d+16d^{2}=37} \atop {2a_{15}+4d=6}} \right.$

$\left \{ {{2(a_{15})^{2}+8d*a_{15}+16d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right.$

$\left \{ {{2*(3-2d)^{2}+8d*(3-2d)+16d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right.$

$\left \{ {{2*(9-12d+4d^{2})+24d-16d^{2}+16d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right.$

$\left \{ {{18+8d^{2}=37} \atop {a_{15}=3-2d}} \right.$

$\left \{ {{8d^{2}=37-18} \atop {a_{15}=3-2d}} \right.$

$\left \{ {{d^{2}= \frac{19}{8} } \atop {a_{15}=3-2d}} \right.$

$\left \{ {{d= \frac{ \sqrt{38}}{4} } \atop {a_{15}=3-2d}} \right.$

Ответ: $d= \frac{ \sqrt{38}}{4}$