Используется деление многочлена на многочлен углом.
1)То что данный многочлен делится без остатка на (х-1) означает, что в частном многочлен второй степени и
х³+ax²+bx+c=(x-1)(x²+(a+1)x +(b+a+1))
и остаток от деления равен 0 ( см. приложение)
с+b+a+1=0 (*)
2) Многочлен делится без остатка на (х+2), значит
х³+ax²+bx+c=(x+2)(x²+(a-2)x +(b-2a+4)
и остаток от деления равен 0
с-2b+4a-8=0 (**)
многочлен при делении на (х+1) дает в остатке 10, значит
х³+ax²+bx+c=(x+1)(x²+(a-1)x+(b-a+1) +10
остаток от деления
с-b+a-1=10 (***)
Решаем систему трех уравнений (*) (**) (***)
Решение см. в приложении
Складываем (*) и (***) получим
2a+2c =10 ⇒ a+c =5 или с= 5 - a
Вычитаем из (*)уравнение (***)
2b+2= -10 ⇒ 2b=-12 ⇒ b=-6
Подставим b =-6 и c=5-a в (**)
5-a+12+4a-8=0
3a+9=0 ⇒a=-3
Итак,
а=-3, b=-6, с=8
сумма a+b+c= -3 - 6 + 8 = -1
