Решите симметрическую систему уранений

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$\left \{ {{ x^{2} +xy+y ^{2} =3} \atop {xy( x^{2}+y ^{2}) =2}} \right. \\ \left \{ {{ x^{2} +y ^{2} =3-xy} \atop {xy(3-xy)=2}} \right.$
Решаем второе уравнение относительно xy
xy(3-xy)=2
-(xy)²+3(xy)-2=0
или
(xy)²-3(xy)+2=0
квадратное уравнение
D=9-8=1
(xy)=(3-1)/2=1 или ху=(3+1)/2=2
тогда
х²+у²=3-1=2 или х²+у³=3-2=1
Решаем две системы.

$А) \left \{ {{xy=1} \atop { x^{2} +y ^{2} =2}} \right. \\ \left \{ {{2xy=2} \atop { x^{2}+y ^{2} =2}} \right.$
умножили первое уравнение на (2) и
сложим уравнения, получим формулу квадрата суммы (х+у)²=4 ⇒х+у=2 или х+у = -2
при этом ху=1
Снова две системы
$1) \left \{ {{x+y=2} \atop {xy=1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{y=2-x} \atop {x(2-x)=1}} \right.$
Решаем второе уравнение
2x-x²=1⇒x²-2x+1=0 ⇒ (x-1)²=0 ⇒ x₁=1 тогда у₁=2-1=1
$2) \left \{ {{x+y=-2} \atop {xy=1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{y=-2-x} \atop {x(-2-x)=1}} \right.$
Решаем второе уравнение
-2x-x²=1⇒x²+2x+1=0 ⇒ (x+1)²=0 ⇒ x₂=-1 тогда у₂=-2-(-1)=-1
$В) \left \{ {{xy=2} \atop { x^{2} +y ^{2} =1}} \right. \\ \left \{ {{2xy=4} \atop { x^{2}+y ^{2} =1}} \right.$
умножили первое уравнение на (2) и
сложим уравнения, получим формулу квадрата суммы (х+у)²=5 ⇒х+у=√5 или х+у = -√5
при этом ху=2
Снова две системы
$1) \left \{ {{x+y=\sgrt{5}} \atop {xy=2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{y=\sgrt{5}-x} \atop {x(\sgrt{5}-x)=2}} \right.$
Решаем второе уравнение
√5x-x²=2⇒x²-√5·x+2=0
D=(√5)²-4·2<0 уравнение не имеет решений<br>Значит эта система не имеет решений
$2) \left \{ {{x+y=-\sgrt{5}} \atop {xy=2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{y=-\sgrt{5}-x} \atop {x(-\sgrt{5}-x)=2}} \right.$
Решаем второе уравнение
-√5·x-x²=2⇒x²+√5x+1=0
D=(√5)²-4·2<0 уравнение не имеет решений<br>Значит и эта система не имеет решений
Ответ. (1;1) (-1;-1)

nafanya2014_zn (413k баллов) 22 Март, 18

аноним · Answer 1 · 2018-03-22T03:29:28+0000

X²+xy+y²=3
xy(x²+y²)=2

x²+xy+y²-3=0
x³y+xy³-2=0
Пусть x+y = u, xy = v

u²-v-3=0
u²v-2v²-2=0

u²-v-3=0
(u²-v-3)-(u²v-2v²-2)=0
-Проработаем со вторым уравнением
u²(1-v)+(-v-1+2v²)=0
-u²(-1+v)+(-1+v)(2v+1)=0
(-1+v)(-u²+2v+1)=0
Имеем что

u²-v-3=0
(-1+v)(-u²+2v+1)=0
Имеем 2 системы

u²-v-3=0 также u²-v-3=0
-1+v=0 -u²+2v+1=0

v=1 u²-v-3=0
u= $\pm2$ v-2=0

v=2
u= $\pm \sqrt{5}$
Обратная замена:
I Система
x+y=-2
xy=1

x=-2-y
(-2-y)y=1

y²+2y+1=0
(y+1)²=0
y=-1
x=-1 - Первая пара решение системы (-1;-1)

II система

x+y=2
xy=1

x=2-y
(2-y)y=1

y²-2y+1=0
(y-1)²=0
y=1
x=1 - Вторая пара решение системы (1;1)

III cистема

x+y=-√5
xy=2

x=-√5 - y
(-√5-y)y=2

y²+√5y+2=0
D=b² -4ac = -3 < 0. Нет решений.

Ответ: (-1;-1), (1;1)