75
Оттолкнемся от того что есть такая теорема: число различных разложений
натурального числа n в сумму k натуральных чисел равно C(n-1,k-1). Формула C(a,b) = a!/(b!*(a-b)!) - это комбинаторная формула количества сочетаний. Но
нам она не совсем подходит, потому что она считает, например,
такие разложения как 1+1+28 и 1+28+1 как 2 различных разложения. Поэтому
нужно будет после подсчета по этой формуле избавиться от одинаковых разложений, отличающихся лишь порядком слагаемых.
Считаем C(30-1, 3-1) = C(29,2) = 406. Посмотрим теперь сколько среди этих разложений одинаковых. Сразу отметим что есть разложение 10+10+10 и оно среди этих 406 представлено в единственном числе. Значит рассматриваем теперь 405 разложений. Среди них присутствуют разложения с двумя одинаковыми слагаемыми, например, 2+2+26 и разложения без одинаковых слагаемых, например, как 1+2+27. Количество разложений с двумя одинаковыми слагаемыми можно сразу же быстро подсчитать: это 1+1+28, 2+2+26, 3+3+24, 4+4+22, 5+5+20, 6+6+18, 7+7+16, 8+8+14, 9+9+12, 11+11+8, 12+12+6, 13+13+4, 14+14+2. Всего 13 штук. Каждое из этих разложений представлено как бы в трех экземплярах, т.е. например: 9+9+12, 9+12+9, 12+9+9. Вычитаем из 405 13*3=39, получаем 366. На эти 366 штук приходятся все разложения состоящие из разных чисел. Понятно, что каждое такое разложение представлено как бы в 6 экземплярах. Например: 1+2+27, 1+27+2, 2+27+1, 2+1+27, 27+1+2, 27+2+1. Поэтому делим 366 на 6, получаем 61.
Итого число 30 раскладывается на 61+13+1 = 75 уникальных разложений из 3 натуральных слагаемых.
Вообще, проще, наверное, в лоб посчитать, потому что вышеизложенный способ тоже требует прилично "тупой ручной" работы.