В общем виде геометрический смысл определенного интеграла - площадь криволинейной трапеции, расположенной между графиком функции и осью абсцисс.
Из чертежа видно, что в области x∈[1;2] имеется прямоугольная трапеция, а в области x∈[2;5] прямоугольник. Суммарная площадь этих фигур и будет численно равна значению искомого определенного интеграла.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы основания на высоту, т.е. Sтр=((1+3)/2)*1=2 (ед²). Площадь прямоугольника равна произведению сторон; Sпр=3*3=9 (ед²) - прямоугольник на самом деле - квадрат.
Общая площадь равна 2+9=11 (ед²). Это и есть значение интеграла.